Номер 411, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

411 ☐ В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Проведена биссектриса $CL$ прямого угла $C$, где точка $L$ лежит на гипотенузе $AB$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно:$\angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Через точку $L$ проведены прямые, параллельные катетам. Пусть точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ — на катете $BC$. По условию, $LM || BC$ и $LN || AC$.

Рассмотрим четырёхугольник $CMlN$.

1. По построению, противолежащие стороны этого четырёхугольника попарно параллельны: $LM || CN$ (так как $LM || BC$) и $LN || CM$ (так как $LN || AC$). Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CMlN$ — параллелограмм.

2. Угол $\angle C$ этого параллелограмма равен $90^\circ$ по условию задачи. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $CMlN$ — прямоугольник.

3. Чтобы доказать, что прямоугольник $CMlN$ является квадратом, достаточно доказать равенство двух его смежных сторон, например, $CM = CN$. Рассмотрим треугольник $CML$. Так как $LM || BC$, то $LM || CN$. Прямая $CL$ является секущей для параллельных прямых $LM$ и $CN$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CLM = \angle LCN$. Мы знаем, что $\angle LCN = \angle BCL = 45^\circ$. Значит, $\angle CLM = 45^\circ$. В треугольнике $CML$ мы имеем два угла: $\angle MCL = \angle ACL = 45^\circ$ и $\angle CLM = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $CML$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, равны: $CM = LM$.

4. В прямоугольнике $CMlN$ противолежащие стороны равны, то есть $LM = CN$. Из пункта 3 мы знаем, что $CM = LM$. Сопоставляя эти два равенства, получаем, что $CM = CN$.

Таким образом, $CMlN$ — это прямоугольник, у которого смежные стороны равны. По определению, такой прямоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Доказательство:
Пусть в прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена биссектриса $CL$. Через точку $L$ проведены прямые $LM \parallel BC$ и $LN \parallel AC$ ($M \in AC, N \in BC$).
1. В четырёхугольнике $CMlN$ имеем $LM \parallel CN$ и $LN \parallel CM$ по построению. Значит, $CMlN$ — параллелограмм.
2. Так как $\angle C = 90^\circ$, то параллелограмм $CMlN$ является прямоугольником.
3. $\angle ACL = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. Так как $LN \parallel AC$, то $\angle CLN = \angle ACL = 45^\circ$ (как накрест лежащие при секущей $CL$).
4. В $\triangle CLN$ углы при стороне $CL$ равны: $\angle LCN = 45^\circ$ и $\angle CLN = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle CLN$ — равнобедренный, и $CN = LN$.
5. Прямоугольник $CMlN$, у которого смежные стороны $CN$ и $LN$ равны, является квадратом. Ответ: Полученный четырёхугольник является прямоугольником по построению (стороны параллельны осям-катетам и один угол прямой), а равенство смежных сторон доказывается через равнобедренность треугольника, образованного биссектрисой и одной из построенных сторон, что и делает его квадратом.