Номер 540, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

540 Периметр треугольника $CDE$ равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб $DMFN$ так, что вершины $M, F$ и $N$ лежат соответственно на сторонах $CD, CE$ и $DE$. Найдите стороны $CD$ и $DE$, если $CF = 8$ см, $EF = 12$ см.

По условию задачи, периметр треугольника $CDE$ равен 55 см. Вершины вписанного ромба $DMFN$ лежат на сторонах треугольника: $M$ на $CD$, $F$ на $CE$, и $N$ на $DE$. Также даны длины отрезков $CF = 8$ см и $EF = 12$ см.

1. Найдем длину стороны $CE$. Так как точка $F$ лежит на стороне $CE$, то длина этой стороны равна сумме длин отрезков $CF$ и $EF$:

$CE = CF + EF = 8 + 12 = 20$ см.

2. Зная периметр треугольника и длину одной из его сторон, мы можем найти сумму длин двух других сторон:

$P_{CDE} = CD + DE + CE$

$55 = CD + DE + 20$

$CD + DE = 55 - 20 = 35$ см.

3. Пусть сторона ромба $DMFN$ равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны: $DM = MF = FN = ND = x$. Также у ромба противоположные стороны параллельны. Отсюда следует:

$MF \parallel DN$. Так как точка $N$ лежит на стороне $DE$, то $MF \parallel DE$.

$FN \parallel DM$. Так как точка $M$ лежит на стороне $CD$, то $FN \parallel CD$.

4. Рассмотрим подобные треугольники, которые образуются благодаря этим параллельным линиям.

Так как $MF \parallel DE$, то треугольник $CMF$ подобен треугольнику $CDE$ ($\triangle CMF \sim \triangle CDE$). Из подобия следует соотношение сторон:

$\frac{CF}{CE} = \frac{MF}{DE}$

Подставим известные значения и обозначение стороны ромба:

$\frac{8}{20} = \frac{x}{DE} \implies \frac{2}{5} = \frac{x}{DE}$

Отсюда выразим $x$: $x = \frac{2}{5}DE$.

5. Аналогично, так как $FN \parallel CD$, то треугольник $EFN$ подобен треугольнику $ECD$ ($\triangle EFN \sim \triangle ECD$). Из их подобия следует соотношение сторон:

$\frac{EF}{EC} = \frac{FN}{CD}$

Подставим известные значения:

$\frac{12}{20} = \frac{x}{CD} \implies \frac{3}{5} = \frac{x}{CD}$

Отсюда выразим $x$: $x = \frac{3}{5}CD$.

6. Теперь у нас есть два выражения для стороны ромба $x$. Приравняем их, чтобы найти связь между сторонами $CD$ и $DE$:

$\frac{2}{5}DE = \frac{3}{5}CD$

$2DE = 3CD \implies DE = \frac{3}{2}CD$.

7. Подставим полученное выражение для $DE$ в уравнение, которое мы вывели из периметра ($CD + DE = 35$):

$CD + \frac{3}{2}CD = 35$

$\frac{5}{2}CD = 35$

$CD = 35 \cdot \frac{2}{5} = 14$ см.

8. Зная $CD$, находим $DE$:

$DE = \frac{3}{2}CD = \frac{3}{2} \cdot 14 = 21$ см.

Ответ: $CD = 14$ см, $DE = 21$ см.