Номер 543, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

543 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть даны два подобных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

По определению подобных треугольников, их соответствующие углы равны, а сходственные (соответствующие) стороны пропорциональны. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

$ \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1 $

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

Проведём в этих треугольниках высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сходственным сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Таким образом, треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ являются прямоугольными, так как $ \angle BHA = 90^\circ $ и $ \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим эти прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $.

• $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответственные углы подобных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).
• $ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $ (по построению высот).

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ следует, что их сходственные стороны пропорциональны:

$ \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $

Из условия подобия исходных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ мы знаем, что $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $.

Сопоставляя два полученных равенства, получаем:

$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1} $

Таким образом, мы доказали, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.